IMAGINARY
IMAGINARY - Mini-Symposium

IMAGINARY Mini-Symposium (M22), 18. und 19.9.2008, DMV-Tagung Erlangen
IMAGINARY - Probleme und Techniken der Visualisierung aus der Geometrie

Im Zuge der interaktiven Wanderausstellung IMAGINARY des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach im Jahr der Mathematik werden Techniken der Visualisierung (algebraische Geometrie, Differentialgeometrie, etc.) zur attraktiven Vermittlung der Mathematik eingesetzt. Dieses Mini-Symposium behandelt die mathematischen Hintergründe der Ausstellung: Probleme bei der Erstellung von 3D-Skulpturen, Techniken der schnellen Visualisierung, Einsatz der verwendeten Programme in der Wissenschaft, konkrete Beispiele (z.B. Konstruktion der Meissner’schen Körper, Aufstellen von schwierig zu visualisierenden Gleichungen, etc.).
Zeitplan und Anmeldung
Der Zeitplan im Überblick kann hier (PDF-Datei) heruntergeladen werden. Tag 1, Donnerstag, 18.9.2008:

14:30, Martin von Gagern, Hyperbolisierung von Ornamenten
15:00, Manfred Kuhnkies, Skulpturen Algebraischer Flächen mittels Rapid-Prototyping
15:30, Alexander Zimmermann, Meißnersche Körper: Konstruktion und 3D-Druck
16:00, Michael Sagraloff, Exact Geometric-Topological Analysis and Triangulation of Algebraic Surfaces
16:30, Vorführung und Beschau von algebraischen Skulpturen

Tag 2, Freitag, 19.9.2008:

14:30, Steffen Weissmann, Mathematische Visualisierung und Computerspiele-Technologie
15:00, Herwig Hauser, Was ist ein Stern?
15:30, Christian Stussak, Interaktive, GPU-unterstützte Visualisierung algebraischer Flächen
16:00, Oliver Labs, Visualization Challenges for Real Algebraic Surfaces
16:30, Vorführung von Filmen und Programmen zur algebraischen Geometrie

Die Anmeldung erfolgt auf der Webseite der DMV-Tagung.
Hyperbolisierung von Ornamenten
Martin von Gagern, TU Muenchen

Ein auf der IMAGINARY-Ausstellung vertretenes Computerprogramm erlaubt das Zeichnen von Ornamenten in den 17 Symmetriegruppen der euklidischen Ebene in Echtzeit. Ausserdem erlaubt es die Erkennung der Symmetrieeigenschaften eines eingescannten Musters.
Symmetrische Ornamente gibt es auch in anderen Geometrien. Eschers "Kreislimit"-Drucke haben hyperbolische Ornamente bekannt gemacht. Ein ebenfalls von mir erstelltes Programm erlaubt das Zeichnen von hyperbolischen Ornamenten, ebenso in Echtzeit. Einige der hierfuer verwendeten Techniken sind neu und werden im Vortrag erlaeutert.
Kernthema des Vortrags ist die Verknuepfung dieser beiden Anwendungen: Erkannte euklidische Muster sollen in die hyperbolische Geometrie uebertragen werden. Dies geht nur unter Veraenderung der Kombinatorik sowie Verformung der Fundamentalzellen. Die Moeglichkeiten zur Berechnung geeigneter konformer Abbildungen werden beleuchtet. Auch Entsprechungen zwischen Symmetriegruppen beider Welten werden untersucht.
Skulpturen Algebraischer Flächen mittels Rapid-Prototyping
Manfred Kuhnkies, Institut FORWISS, Universitaet Passau

Rapid-Prototyping ist die Fertigung dreidimensionaler Formen direkt aus CAD-Daten. Hohe Freiheitsgrade für herstellbare Formen machen die Technik u.a. zu einem attraktiven Werkzeug skulptureller Kunst.
Angeregt durch Computergrafiken, in denen Prof. Dr. Herwig Hauser die Schönheit Algebraischer Flächen kunstvoll ins Bild setzt, wurde eine Brücke zwischen Mathematik und Rapid-Prototyping geschlagen und dabei eine Auswahl Algebraischer Flächen als Skulpturen gefertigt. Als Mathematik zum Anfassen ergänzen sie die Ausstellung IMAGINARY.
Der Vortrag zeigt an Beispielen, wie die bekannten Standard-Techniken Marching Cubes und Flächenparametrisierung für viele Algebraische Flächen zur approximativen Extraktion von CAD-Daten eingesetzt werden können. Zudem wird eine Möglichkeit vorgestellt, mittels effizienter diskreter Methoden auch aus Polynomen mit unbeschränkter Nullstellenmenge ein druckbares CAD-Modell mit im Wesentlichen vom Original beibehaltener Oberfläche approximativ zu errechnen.
Meißnersche Körper: Konstruktion und 3D-Druck
Alexander Zimmermann, Institut FORWISS, Universitaet Passau

Das Reuleaux-Dreieck ist das einfachste nicht triviale Beispiel eines zweidimensionalen Körpers konstanter Weite, auch Gleichdick genannt. Die Weite ist definiert als der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden, die den Körper auf gegenüberliegenden Seiten berühren. Ein Körper konstanter Weite kann daher zwischen zwei Geraden mit festem Abstand abrollen. Die Erweiterung auf den dreidimensionalen Raum, das Reuleaux-Tetraeder, ist kein Gleichdick. Eine geeignete Abänderung führt zu den Meißner'schen Körpern, die konstante Weite haben. Der Vortrag zeigt eine algebraische sowie eine parametrische Konstruktionsmethode für die Oberfläche dieser Körper, womit sich druckbare CAD-Datensätze für einen 3D-Druck mittels Rapid-Prototyping bereitstellen lassen. Experimente zum Abrollverhalten der Körper werden nicht nur computergestützt visualisiert, sondern können mit den gefertigten Kunststoffmodellen auch in Realität durchgeführt werden.
Exact Geometric-Topological Analysis and Triangulation of Algebraic Surfaces
Michael Sagraloff, Max-Planck-Institut fuer Informatik, Saarbruecken

We present a method to compute the exact topology of a real algebraic surface S, implicitly given by a polynomial f in Q[x,y,z] of arbitrary degree N. Additionally, our analysis provides geometric information as it supports the computation of arbitrary precise samples of S including critical points. We use a projection approach, similar to Collins' cylindrical algebraic decomposition (cad). In comparison we reduce the number of output cells to O(N5) by constructing a special planar arrangement instead of a full cad in the projection plane. Furthermore, our approach applies numerical and combinatorial methods to minimize costly symbolic computations. Based on the described projection oriented presentation a topological correct triangulation of the surface is also presented. The algorithm handles all sorts of degeneracies without transforming the surface into a generic position. We provide a complete implementation of the algorithm, written in C++. It shows good performance for many well known examples from algebraic geometry.
Mathematische Visualisierung und Computerspiele-Technologie
Steffen Weissmann, TU Berlin

Die Erforschung von Flächen und anderen geometrischen Objekten kann sehr von Computerexperimenten profitieren. Optimal ist es, wenn man dabei in einer virtuellen Szene zum Beispiel auf den Fl"achen herumlaufen und mit ihnen interagieren und experimentieren kann. Um dies zu realisieren, hat es sich am effektivsten erwiesen, dieselben Techniken zu benutzen, wie sie auch in Computerspielen verwendet werden.
In jReality (www.jreality.de), einer an der TU Berlin und TU München entwickelten Java-Bibliothek fuer mathematische 3D-Visualisierung, sind solche Navigations- und Interaktionstechniken integriert. In diesem Vortrag zeigen wir, wie man jReality fuer die Visualisierung vorhandener 3D Geometrie (3D- oder Mathematicadaten) nutzen kann und wie man mit ein wenig Java-Programmierung interaktive mathematische Experimente realisiert. Dazu werden aktuelle Anwendungen aus Forschung und Lehre vorgestellt.
Was ist ein Stern?
Herwig Hauser, Universitaet Wien

Die Symmetriegruppen der Platonischen Körper können als die endlichen Untergruppen der Drehgruppe im R^3 charakterisiert werden. Unsere Aufgabe wird es sein, reelle algebraische Kurven und Flächen zu konstruieren, die genau diese Symmetriegruppen aufweisen. Insbesondere werden wir nach Sternen Ausschau halten, also sozusagen nach den Sternen greifen -- wobei erst zu klären ist, was wir unter einem (algebraischen) Stern verstehen wollen.
Interaktive, GPU-unterstützte Visualisierung algebraischer Flächen
Christian Stussak, Universitaet Halle

Bei der interaktiven Visualisierung algebraischer Flächen treten zwei zentrale Aspekte in den Vordergrund. Einerseits muss eine hohe Darstellungsqualität erzielt werden, um die wichtigen Eigenschaften (z.B. Singularitäten) der Flächen gut wiederzuspiegeln. Anderseits muss das Bild der Fläche hinreichend schnell, dass heißt in Echtzeit, berechnet werden. Das Raytracing-Verfahren liefert qualitativ sehr gute Ergebnisse, teilweise bei erheblicher Rechenzeit. Im Vortrag werden verschiedene Ansätze zur Beschleunigung des Verfahrens präsentiert. Besonderes Augenmerk wird auf eine Implementierung des Raytracing-Verfahrens mit Hilfe der Shader-Programmierung auf der GPU (Graphics Processing Unit) moderner Grafikkarten gelegt, womit eine hochauflösende, interaktive Visualisierung algebraischer Flächen kleinen Grades (derzeit ca. Grad 10) in Echtzeit möglich ist. Zur interaktiven Illustration des Vortrages werden die vom Autor mitentwickelten Programme Surfer und RealSurf vorgestellt.
Visualization Challenges for Real Algebraic Surfaces
Oliver Labs, Universitaet des Saarlandes

We discuss some of the difficulties arising when visualizing real algebraic surfaces and give a list of challenges for people working on visualization software.
Kontakt
Organisatoren:
Gert-Martin Greuel, Tu Kaiserslautern, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
Andreas Matt, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
Oliver Labs, Universitaet des Saarlandes
Herwig Hauser, Universitaet Wien
Email: info(at)imaginary2008.de
MFO